Falsche Beweise:

Man sagt ja immer, daß ein halbvolles Glas gleich einem halbleeren Glas ist: \frac{1}{2} voll = \frac{1}{2} leer jetzt nimmt man beide Seiten mal 2:

⇒ voll = leer

Ein Beispiel für eine verblüffende Wahrheit ist: 4 = 5 BEWEIS 1: Sei a + b = c Addition von 4a ergibt: 5a + b = 4a + c Subtraktion von 5c liefert: 5a + b − 5c = 4a − 4c Addition von 4b führt zu: 5a + 5b − 5c = 4a + 4b − 4c Nur noch schnell ausklammern: 5(a + b − c) = 4(a + b − c) und man sieht schon: 5 = 4

BEWEIS 2: Offenbar ist: \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} also auch: \sqrt{25 + 20 − 45 + \frac{1}{4}} = \sqrt{16 + 20 − 36 + \frac{1}{4}} das heißt: \sqrt{5^{2} + 5 · 9 + \frac{81}{4}} = \sqrt{4^{2} − 4 · 9 + \frac{81}{4}} also: \sqrt{5^{2} + 2 · 5 · \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2 · 4 · \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^{2}} und schon: \sqrt{(5 − \frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(4 − \frac{9}{2})^{2}} 5 − \frac{9}{2} = 4 − \frac{9}{2}

BEHAUPTUNG: 42 ist eine interessante Zahl. LEMMA: Alle natürlichen Zahlen sind interessant. BEWEIS: Annahme: Es gibt mindestens eine uninteressante natürliche Zahl. Jede nichtleere Teilmenge von IN hat ein kleinstes Element.

Also gibt es eine natürliche Zahl mit der höchst interessanten Eigenschaft, die kleinste uninteressante natürliche Zahl zu sein. Widerspruch.

Es ist doch ganz einfach zu beweisen, daß 0,9999... = 1 ist ! Also: 1 · \frac{1}{3} = 0.3333... 2 · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0.3333... + 0.3333... = 0.6666... 1 = 3 · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 03333... + 0.3333... + 0.3333... = 0.9999...

Wir beweisen mittels unvollständiger und hinterlistiger Induktion: x^{2} = 2x, für alle x > 1 aus IN . Schritt 1: Für 2 gilt: 2^{2} = 2 · 2 ⇒ stimmt. Schritt 2: Für n + 1 gilt: (x + 1)^{2} = 2(x + 1)

⇒ x^{2} + 2 · x + 1 = 2 · x + 2 Schritt 3: jetzt erweitern wir die Beweisbasis von x > 1 auf x > 0:

⇒ 1^{2} · 2 · 1 + 1 = 2 · 1 + 2 ⇒ stimmt. (−x)^{2} = 1, für alle x > 0 aus IN . Schritt 1: Für 1 gilt: (−1)^{2} = 1 ⇒ stimmt. Schritt 2: Für n + 1 gilt: (−x + 1)^{2} = 1 Schritt 3: Wir wissen von vorher, daß x^{2} = 2 · x ist.

⇒ x^{2} − 2 · x + 1 = 1

⇒ 0 − 0 + 1 = 1 ⇒ stimmt. Beweis, daß 1 + 1 nicht 2 ist: Schritt 1: 1 + 1 = 2 ⇒ stimmt. Schritt 2: (Erweiterung auf n + 1) (1 + 1) + (1 + 1) = (2 + 1) ⇒ 2 + 2 = 3 ⇒ falsch, folglich ist 1 + 1 nicht 2.

Auch ein hübscher falscher Beweis ist: Sei x, y ungleich 0: x = y | · y xy = y^{2} | − x^{2} x · y − x^{2} = y^{2} − x^{2} |Ausklammern x(y − x) = (y + x)(y − x) |/(y − x) x = y + x |Anfangsbedingungeinsetzen x = x + xx = 2x |/x 1 = 2 qed (quite easily done, wie wir Lateiner sagen)

Wenn 3 Leute in einem Raum sind und 5 rausgehen, müssen 2 wieder reinkommen damit der Raum leer ist.

Man nehme eine beliebige geometrische Folge, z.B. 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... Um ihren Grenzwert zu bestimmen, bedient man sich des folgenden Tricks: Der Grenzwert sei x: x = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... Wir subtrahieren das 1. Glied: x − 1 = 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... Rechts steht aber hier nichts anderes als x/3 (jeder Summand wurde gedrittelt!) x − 1 = x/3 ⇒ x = 1.5 So weit, so gut! Jetzt beginnt der Unfug: Die größte ganze Zahl kann durch die Reihe: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + ... dargestellt werden. Wir wenden denselben Trick an: x = 1 + 2 + 4 + ... x − 1 = 2 + 4 + 8 + ... x − 1 = 2x ⇒ x = −1 Also ist −1 die größte ganze Zahl.

Eine Katze hat drei Schwänze, was leicht zu beweisen ist: Zunächst ist es einleuchtend, daß eine Katze einen Schwanz mehr hat als keine Katze. Ferner ist es Tatsache, daß keine Katze zwei Schwänze hat. (Wohlgemerkt: Wir sprechen hier von KATZEN! – Ein Schelm, wer arges dabei denkt) Wenn nun aber eine Katze einen Schwanz mehr hat als keine Katze und keine Katze zwei Schwänze hat, so muß eine Katze drei Schwänze haben.