Wie fängt man einen Löwen in der Wüste?

Das Einfangen von Löwen in der Wüste ist ein schönes Beispiel anwendungsnaher Mathematik, in das sogar physikalische Aspekte hineinspielen. Wir geben daher zum Nutzen der Leser eine Zusammenstellung wieder, die ihm bei diesem, im täglichen Leben so häufig auftretenden Problem, einige Leitlinien zur Lösungsfindung vermitteln.

I. Mathematische Methoden

Die Hilbert’sche oder axiomatische Methode.

Man stellt einen Käfig in die Wüste und führt folgendes Axiomensystem ein: Axiom 1 : Die Menge der Löwen in der Wüste ist nicht leer. Axiom 2 : Sind Löwen in der Wüste, so ist auch ein Löwe im Käfig. Schlußregel: Ist p ein richtiger Satz und gilt ”wenn p, so q“, so ist auch q ein richtiger Satz. Satz: Es ist ein Löwe im Käfig.

Die geometrische Methode.

Man stelle einen zylindrischen Käfig in die Wüste.

1. Fall: Der Löwe ist im Käfig. Dieser Fall ist trivial.

2. Fall: Der Löwe ist außerhalb des Käfigs. Dann stelle man sich in den Käfig und mache eine Inversion an den Käfigwänden. Auf diese Weise gelangt der Löwe in den Käfig un man selbst nach draußen. Achtung. Bei Anwendung dieser Methode ist dringend darauf zu achten, daß man sich nicht auf den Mittelpunkt des Käfigbodens stellt, da man sonst im Unendlichen verschwindet!

Die Projektionsmethode.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, daß die Wüste eine Ebene ist. Wir projizieren sie auf eine Gerade durch den Käfig, und die Gerade auf einen Punkt im Käfig. Damit gelangt der Löwe in den Käfig.

Die Bolzano-Weierstraß-Methode.

Wir halbieren die Wüste in Nord-Süd-Richtung durch einen Zaun. Dann ist der Löwe entweder in der westlichen oder östlichen Hälfte. Wir wollen annehmen, daß er in der westlichen Hälfte ist. Daraufhin halbieren wir diesen westlichen Teil durch einen Zaun in Ost-West-Richtung. Der Löwe ist entweder im nördlichen oder im südlichen Teil. Wir nehmen an, er ist im nördlichen. Auf diese Weise fahren wir fort. Der Durchmesser der Teile, die bei dieser Halbiererei entstehen, strebt gegen Null. Auf diese Weise wird der Löwe schließlich von einem Zaun beliebig kleiner Länge eingegrenzt.

Die mengentheoretische Methode.

Die Punkte der Wüste lassen sich wohlordnen. Ausgehend vom kleinsten Element erwischt man den Löwen durch transfinite Induktion. Bemerkung. Diese Methode ist in Fachkreisen umstritten wegen der Verwendung des Wohlordnungssatzes bzw. des Auswahlaxioms. Wie so oft, hat auch die vorliegende Fragestellung zu einer fruchtbaren Entwicklung geführt. Dabei wurde schließlich eine sehr viel einfachere Methode entdeckt, die den genannten Mangel nicht aufweist: Man betrachte alle Teilmengen der Wüste, die den Löwen enthalten, und bilde ihren Durchschnitt. Er enthält als einziges Element den Löwen. (Bei dieser Durchschneiderei ist lediglich darauf zu achten, daß das schöne Fell des Löwen nicht zerschnitten wird!)

Die funktionalanalytische Methode.

Die Wüste ist ein separabler Raum. Er enthält daher eine abzählbare dichte Menge, aus der eine Folge ausgewählt werden kann, die gegen den Löwen konvergiert. Mit einem Käfig auf dem Rücken springen wir von Punkt zu Punkt dieser Folge und nähern uns so dem Löwen beliebig genau.

Die Peano-Methode.

Man konstruiere eine Peano-Kurve durch die Wüste, also eine stetige Kurve, die durch jeden Punkt der Wüste geht. Es ist gezeigt worden, daß man eine solche Kurve in beliebig kurzer Zeit durchlaufen kann. Mit dem Käfig unter’m Arm durchlaufe man die Kurve in kürzerer Zeit, als der Löwe benötigt, um sich um seine eigenen Länge fortzubewegen.

Die topologische Methode.

Der Löwe kann topologisch als Torus aufgefaßt werden. Man transportiere die Wüste in den vierdimensionalen Raum. Es ist nun möglich, die Wüste so zu deformieren, daß beim Rücktransport in den dreidimensionalen Raum der Löwe verknotet ist. Dann ist er hilflos.

Die Cauchy’sche oder funktionentheoretrische Methode.

Wir betrachten eine reguläre löwenwertige Funktion f auf der Wüste. Der Käfig stehe im Punkt z der Wüste. Man bildet dann das Integral

\frac{1}{2π} ∫_{C} \frac{f(μ)}{μ − z} dμ

wobei C der Rand der Wüste ist. Der Wert des Integrals ist f(z), d.h. es ist ein Löwe im Käfig.

Die Banach’sche oder iterative Methode.

Es sei f eine Kontraktion der Wüste in sich. x_{0} sei ihr Fixpunkt. Auf diesen Fixpunkt stellen wir den Käfig. Durch sukzessive Iteration

W_{n+1} = f(W_{n}), n = 0, 1, 2, ... (W_{0} = W üste)

wird die Wüste auf den Fixpunkt zusammengezogen. So gelangt der Löwe in den Käfig.

Die Kompaktionsmethode.

Die Wüste wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit als kompakt vorausgesetzt, Man überdecke sie mit einer Familie von Käfigen K_{i} (i ∈ I). Dann gibt es unter ihnen endlich viele Käfige K_{i_{1}}, …, K_{i_{n}}, die bereits die ganze Wüste überdecken. Die Durchmusterung dieser Käfige auf darin befindliche Löwen wird als Diplomarbeit vergeben.

Die logische Methode oder Methode des ”Tertium non datur“.

Man stelle einen offenen Käfig in die Wüste und lege ein Brett mit Leim daneben. Beides biete man dem Löwen zum Betreten an. Der Löwe sagt dann: ”Nein, auf den Leim gehe ich nicht!“. Nach dem ”Tertium non datur“ muß er in den Käfig gehen. Danach schlägt man die Tür zu.

Die stochastische Methode.

Man benötigt dazu ein Laplace-Rad, einige-Würfel und eine Gauss’sche Glocke. Mit dem Laplace-Rad fährt man in die Wüste und wirft mit den Würfeln nach dem Löwen. Kommt er dann wutschnaubend angerannt, so stülpt man die Gauss’sche Glocke über ihn. Unter ihr ist er mit der Wahrscheinlichkeit eins gefangen.

Die statistische Methode.

Satz 1: Die Anzahl der Sandkörner in der Wüste ist endlich. Satz 2: Es existiert wenigstens ein Sandkorn auf dem der Löwe sitzt. Problemlösungsprozeß: Man lege jedes Sandkorn in den Käfig. ⇒ sind alle Sandkörner im Käfig, so ist auch der Löwe im Käfig.

Die zeitliche Methode.

Man warte undendlich lange. Nach unendlich langer Zeit ist der Löwe tot. Wir suchen seine Gebeine und legen sie in den Käfig. (In der Problemspezifikation ist kein Wort von einem lebendigen Löwen die Rede.)

Die didaktische Methode.

Man nähere sich dem Löwen auf der Bruner’schen Spirale. Dann elementarisiere man den Löwen zu einer Katze und fange ihn mit einer Schale Milch.

Die empirische Methode.

Ansatz: Die Anzahl der Sandkörner in der Wüste ist endlich. Es existiert wenigstens ein Löwe in der Wüste. Wenn sich ein Löwe in der Wüste befindet, so sitzt er auf wenigstens einem Sandkorn.

Lösung: Man entferne ein Sandkorn nach dem andern. Nach maximal n-Schritten (n = Anzahl der Sandkörner in der Wüste) hat man den Löwen gefunden. Da sich der Löwe der Gefangennahme widersetzen wird, ist anzunehmen, daß er sich immer auf die verbleibenden Sandkörner flüchten wird. Hat man das letzte Sandkorn erreicht, so kann der Löwe nicht mehr aus. Man kann ihn ganz einfach fangen.

Anmerkung: Die Lösung hat die Ordnung O(n). Eine Verbesserung könnte man dadurch erreichen, indem man die Wüste als binären Suchbaum oder als ähnliche Struktur (AVL-, B-Baum) strukturiert.

II. Physikalische Methoden

Die Newton’sche Methode.

Käfig und Löwe ziehen sich durch die Gravitationskraft an. Wir vernachlässigen die Reibung. Auf diese Weise muß der Löwe früher oder später am Käfig landen.

Die Heisenberg-Methode.

Ort und Geschwindigkeit eines bewegten Löwen lassen sich nicht gleichzeitig bestimmen. Da bewegte Löwen also keinen physikalisch sinnvollen Ort in der Wüste einnehmen, kommen sie für die Jagd auch nicht in Frage. Die Löwenjagd kann sich daher nur auf ruhende Löwen beschränken. Das Einfangen eines ruhenden, bewegungslosen Löwen wird dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.

Die Schrödinger-Methode.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich ein Löwe zu einem beliebigen Zeitpunkt im Käfig befindet, ist größer als Null. Man setzte sich vor den Käfig und warte. Bemerkung. Hierbei wird üblicherweise vorausgesetzt, daß der Käfig offen ist und man ihn zuschlagen muß, wenn der Löwe drin ist. H. Schubert wies aber darauf hin, daß man den Käfig wegen des Tunneleffektes auch zulassen kann. Auf diese Weise kann man bei der elenden Warterei auch mal weggehen und ein Bierchen trinken. Aber nicht zu lange! Denn kluge Löwen, die den Tunneleffekt begriffen haben, verschwinden auch wieder.

Die Einstein’sche oder relativistische Methode.

Man überfliege die Wüste nahezu mit Lichtgeschwindigkeit. Durch die relativistische Längenkontraktion wird der Löwe flach wie Papier. Man greife ihn, rolle ihn auf und mache ein Gummiband herum. Bemerkung. Wir haben uns hier auf physikalische Methoden beschränkt, die der Mathematik nahe stehen. Weitere Methoden, insbesondere experimentalphysikalische, findet der Leser in der verdienstvollen Abhandlung von H.Pétard [1] aus dem Jahre 1938 (wie z.B. das Arbeiten mit halbdurchlässigen Membranen, die alles außer Löwen durchlassen. Mit ihnen siebt man die Wüste durch.) Die Sammlung von Pétard hat auch bei einigen der angegebenen mathematischen Methoden Pate gestanden. Für einige neu aufgenommene Fangmethoden in dieser Auflage danke ich G. Niklasch und L. Scheyde. Auf eine schmerzliche Lücke jedoch wies H. Schubert hin, der sich offenbar besonders tief in diese Problematik einarbeitete. Er bemerkte, daß in all den beschriebenen Methoden die Existenz mindestens eines Löwen vorausgesetzt wird. Wie jeder Mathematiker weiß, sind aber Existenzprobleme häufig die haarigsten. Schubert ist nicht der Mann, der auf halbem Wege stehen bleibt. Er teilte mir daher die folgende Strategie mit, welche die Lücke schließt.

Die dialektische Methode.

Man zäunt die Wüste ein, bewässert sie, sät Gras und setzt Kaninchen aus. Die Kaninchen vermehren sich schnell. Nach Hegel kommt daher bald der Zeitpunkt, bei dem Quantität in Qualität umschlägt, und dann hat man einen Löwen.

All diese Methoden stammen, wie Volksmärchen, aus dem Sagenschatz mathematischer Institute und werden auf Tagungen immer weiter erzählt, in der Hoffnung, daß insbesondere die Jugend sich dieses aufstrebenden Gebietes aufnehmen möchte. Pétard, H.: A Contribution to the Mathematical Theory of Big Bame Hunting. American Math. Monthly 45, 446-447, 1938 Diese Geschmacksprobe stammt aus Friedrich Willes Humor in der Mathematik.

Die relativistische, astrophysikalische Methode.

Man streue in der Wüste Futter aus, das mit Teilen eines Neutronensterns versehen wird. Frisst der Löwe nun dieses Futter, so wickelt sich das Sonnenlicht um den Löwen. Der Löwe ist völlig verwirrt und kann bequem gefangen werden.

Anti-Löwen-Methode

Man setzt sich mit einem Käfig mit kleiner Klapptür in die Wüste. Früher oder später materialisieren genau in der Tür ein Löwe und ein Antilöwe, wobei sich der eine in den Käfig hinein, der andere aus dem Käfig herausbewegt. Dann ganz schnell Tür zumachen und nachsehen: Wenn man mit einem Antilöwen nicht zufrieden ist, Versuch wiederholen bis (Normal-)Löwen gefangen.

III. Studentische Methoden

Die Bronstein-Methode.

Man setze sich an einen kühlen Ort, wo man es gut aushalten kann, und lese im Bronstein/Semendjajew. Da dieses Buch so langweilig ist, bleibt einem gar nichts anderes übrig, als einzuschlafen. Wenn dann ein Löwe heranschleicht (da er leicht zu fangendes Futter wittert…), findet er natürlich auch den Bronstein. Da Katzen nunmal neugierig sind, blättert er in dem Buch. Wie sollte es anders sein: Der Löwe schläft auch darüber ein. Da man selbst jedoch zuerst eingeschlafen ist, wacht man auch zeitlich vor dem Löwen auf. Dann kann man den Bronstein nehmen und dem Löwen damit eins über die Rübe ziehen. Der Rest sei dem Leser als Übung überlassen…

IV. Informatische Methoden

Die Modula-Methode.

(Geeignete Datenstrukturen werden vorrausgesetzt)

MODULE Fang;
FROM Problem IMPORT Loesung;
BEGIN;
  Loesung;
END Fang.

oder

MODULE Kaefig;
FROM Wueste IMPORT Loewe;
END Kaefig;

Die ASM-Methode.

(für ASM (MS-DOS) ab MASM 9.0 oder TASM 4.5)

dosseg
.DATA
MAX equ 65535
Wuesten_Feld db MAX dup (0)
Kaefig db
extern LOEWE_Fkt_Nummer:Word ; DOS-Int. Nummer
.CODE
  lds si, W_Feld             ; ES:DI zeigt auf Anfang des Feldes
  cld
  mov CX,MAX                 ; CX als max. Index
M1:
  lodsb
  cmp al,LOEWE
  je  Gefangen
  loop M1
  jmp Error
Gefangen:
  mov BX,SI
  mov AX,LOEWE_Fkt_Nummer
  lds di, Kaefig
  int 21h                    ; Dos-Interrupt, da alle aufwendigen Proc. in
                            ; ASM ausgelagert werden sollen.
Error:
  int 20h
END

Die C++-Methode.

Die einzigste wahrhaftige Loesung, die wirklich funktioniert, ist in der genialen Umgebung des LPC, das man in UNItopia bewundern kann. /* Ist ein Multi-User-Textadventures, geschrieben in C++-Clone. */ Werbung: einloggen unter telnet 129.69.221.120 3333 und spielen

int fang(string str)
{ object ob1,ob2,ob3;
  if (!str || str!="Loewe mit Kaefig")
  { write("WEN willst du mit WAS fangen ?\n");
    return 1;
  }
  ob1=clone_object("/obj/wueste"); /* Wueste enthaelt Loewe s.Aufgabe */
  ob2=clone_object("/obj/kaefig");

  if (!ob3=present("loewe",ob1)
  { write("Es ist kein Loewe in der Wueste !\n");  /* Falls weggerannt */
    return 1;
  }
  ob3->move(ob2);
  write("Der Loewe befinde sich jetzt im Kaefig.\n");
  return 1;
}
Diese Funktion muss noch an ein Ereignis angehaengt werden, die Objecte
kaefig.c und wueste.c sind geeignet zu implementieren.

Die Turbo-Pascal-Methode.

program Test_Loesung;
type Wuester_Typ= Array[1..Max_X,1..Max_Y] of Index;
     Inhalt     = { weiss nicht }
     Kaefig_Typ = record
           voll   : Boolean;
           Inhalt : Tier;
         end;
     Loewen_Typ = Tier;
var Wueste : Wuester_Typ;
    Kaefig : Kaefig_Typ;
    Tiere  : Array[1..Max_Tiere] of Tier; { Falls noch Kamele in der }
                                         { Wueste sind .            }
procedure Loewen_Fang;
var i,j:Word;
begin;
  Kaefig.voll:=false;
  for i:=1 to Max_X do                      { Wueste nach Loewe absuchen }
    for j:=1 to Max_Y do
       if Wueste[i,j]=LOEWEN_INDEX then begin
                                   Kaefig.Inhalt:=Tiere[Wueste[i,j]];
                                   Kaefig.voll:=true;
                                   Wueste[i,j]:=KEINER_INDEX;
                                   exit;  { Da der Kaefig schon voll }
                                   end;    { ist.Man koennte aber auch }
                         { mit dieser Procedure alle Loewen einfangen. }
  WriteLn('Achtung ! Kein Loewe gefunden, wie waers mit einem Kamel ?');
end;
begin;
  Init;   { Wueste, Tiere  werden eingestellt. }

  Loewen_Fang;
  if (Kaefig.voll) then WriteLn(' Ok,der Loewe ist im Kaefig.')
                   else WriteLn('Achtung ! Kein Loewe gefunden, durch "+
                        'Abaenderung in KAMEL_INDEX waere vielleicht"+
                        #10#13'ein Kamel moeglich ?');
end.

V. Alltägliche Methoden

Die Telekom-Methode.

Man benötigt dazu nur eine Telefonzelle und eine Fahradklingel. Die Telefonzelle wird in der Wüste aufgestellt und man klingelt mit der Fahradklingel. Der Löwe hört das Klingeln, will ans Telefon und wenn er die Zelle betreten hat, muß man nur noch die Tür verschließen.

Die Herlitz-Methode.

Man benötigt hierfür nur ein Notizblock der entsprechenden Firma. Damit setzt man sich auf eine Palme und wartet bis der Löwe sich unter diese legt. Nun zerreisst man den Notizblock und und läßt die Papierschnitzel auf den Löwen regnen. Der denkt es schneit und erfriert.